La réponse à cette question fait débat chez les royalistes et déchaîne les passions depuis 1883. En effet, plusieurs personnes se disputent le rôle et chaque candidat a ses partisans. Deux courants principaux s'opposent : les légitimistes et les orléanistes. 
Tout d'abord, il faut savoir qu'il n'y a plus d'héritier des Bourbons de France (descendants français directs de Louis XIV) depuis la mort du comte de Chambord, petit-fils du roi Charles X, le frère de Louis XVI. Il faut donc aller voir du côté des Bourbons d'Espagne, branche espagnole issue de Philippe V, petit-fils de Louis XIV et roi d'Espagne.

Pour les légitimistes, le successeur des rois de France est son descendant, Louis de Bourbon (Alphonse Gonzalve Victor Emmanuel Marc de Bourbon), duc d'Anjou. Il est le chef de la Maison de France, de par sa position d'aîné des descendants en primogéniture mâle d'Hugues Capet et successeur de la dixième génération de Louis XIV. Il possède la double nationalité française et espagnole. Il est le plus proche parent actuel de Louis XVI par les hommes. Si l'on applique stricto sensu la règle de primogéniture mâle, c'est donc lui le plus légitime.

Là où la querelle commence, c'est que Philippe V, son ancêtre direct, avait renoncé à ses droits à la couronne de France par les Traités d'Utrecht (1713) pour lui-même et sa descendance. En vertu de ces traités, Louis de Bourbon ne devrait donc pas avoir droit à la couronne de France. Aussi les orléanistes considèrent-ils que puisque les Bourbons d'Espagne ont renoncé à la couronne de France, le successeur légitime des rois de France et de Navarre est Henri d’Orléans (Henri VII), comte de Paris, descendant de Louis XIII et de Louis-Philippe.

Les Orléans sont une branche cadette (car ils ne descendent pas directement de Louis XIV mais de Philippe de France, son frère), par opposition à la branche aînée des Bourbons d'Espagne (descendants directs de Louis XIV) représentée par Louis de Bourbon.
De plus, les orléanistes arguent que les lois fondamentales ont toujours eu pour objet principal la conservation du royaume de France dans les mains d'un roi "très chrétien" et français, or Louis de Bourbon est espagnol et a vécu à Madrid et à Caracas...
A cela, les partisans de Louis XX¹ rétorquent que les traités d'Utrecht ne sont plus valables car  la renonciation  était de pure forme et avait été signée pour éviter que les deux couronnes de France et d'Espagne ne puissent être confondues sur la même tête. Or il n'y a aucun risque que cela arrive si la monarchie était restaurée en France. 
Enfin, ils rappellent aux orléanistes que Philippe d'Orléans, aïeul direct du prétendant orléaniste, avait abandonné son nom d'Orléans pour prendre celui d'Égalité sous la Révolution, et avait voté la mort de son cousin Louis XVI et l'abolition de la royauté. Ce faisant, il avait commis une faute grave, et ses descendants n'auraient aucune légitimité morale à régner. En cautionnant le régicide, il adhérait en quelque sorte à la Révolution, et dès lors, sa renonciation au trône devrait être aussi valide que celle de Philippe d'Espagne.

Généalogie montrant l'ascendance des deux prétendants (Louis de Bourbon à gauche, Henri d'Orléans en bas)

Pour résumer, les légitimistes soutiennent le franco-espagnol Louis de Bourbon, comme aîné de la branche aînée des Bourbons d'Espagne car c'est le plus proche du point de vue du "pedigree" royal (pardonnez l'expression). Les orléanistes sont partisans d'Henri d'Orléans, franco-français et aîné de la branche cadette des Orléans. Parmi les légitimistes les plus médiatiques, on peut citer l'animateur Thierry Ardisson, auteur d'un livre intitulé : Louis XX.

Il faut savoir que depuis Louis XIV, les Orléans ont souvent jalousé le trône de leurs cousins les Bourbons de France et ont voulu être calife à la place du calife... 
A ces querelles dynastiques s'ajoutent les prétentions des bonapartistes qui souhaitent placer un membre de la famille de Napoléon sur le trône impérial de France. Sans oublier les survivantistes qui considèrent que Louis XVII n'est pas mort dans la prison du Temple, a pu s'échapper et avoir une descendance en Hollande sous le nom de Naundorff. Son héritier se pose donc aussi comme candidat... Bref, un débat sans fin et sensible². Historiquement, le peuple français a toujours considéré que les renonciations faites à Utrecht étaient nulles et contraires au droit national, donnant donc la préséance à Louis de Bourbon face à Henri d'Orléans. 

Mais qui est ce Louis de Bourbon, notre éventuel roi de France ? Trentenaire, il est banquier à Caracas où il vit avec sa femme María Margarita Vargas Santaella, issue d'une riche famille vénézuélienne. Il est né le 25 avril, 1974 le même jour que le roi Saint Louis, 760 ans plus tard... (amis de la numérologie, n'y aurait-il pas là un signe ?)
Il a une fille, la princesse Eugenia de Borbón y Santaella. Comme tout prince qui se respecte, il parle couramment plusieurs langues et pratique plusieurs disciplines sportives : l'équitation, le hockey sur glace, la natation et le polo. Il est membre titulaire de la Société des Cincinnati de France, où il représente Louis XVI qui avait apporté une aide importante dans la guerre d'indépendance des États-Unis. Louis de Bourbon n'ayant pas encore de descendant mâle, son héritier serait (en cas d'application stricto sensu de la règle de primogéniture mâle) son cousin... le roi Juan Carlos d'Espagne.
Il est plutôt bel homme, ce qui en aurait fait un digne successeur de Louis XIV et de Louis XV, tous deux considérés comme les plus beaux hommes de leur royaume en leur temps...
Jeune, dynamique, Louis de Bourbon est donc un personnage idéal pour la presse people avec sa fille et sa jolie femme. Serait-il un bon roi ?
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1. Louis de Bourbon serait Louis XX car avant lui, il y a eu Louis XVII, fils de Louis XVI, Louis XVIII, frère de Louis XVI, et Louis XIX, neveu de Louis XVI et époux de la duchesse d'Angoulême (ex Madame Royale, fille de Marie-Antoinette).
2. En vérité, le débat sur le successeur des rois de France est plus riche et plus complexe que ça (avec des ramifications et des questions sous-jacentes). Je l'ai simplifié et ai mis en avant les arguments principaux pour ne pas alourdir mon propos.